布朗运动模拟器

这条随机轨迹从哪来

1827 年，布朗在显微镜下看到花粉颗粒在水中永不停歇地抖动。1905 年爱因斯坦给出了解释：水分子在不停做热运动，每一瞬间从各方向撞上颗粒的分子数目与力度都有微小涨落，涨落的不平衡就把颗粒推来推去。单个分子的一次撞击无法预测，所以颗粒的位移本质上是一个随机过程。

爱因斯坦进一步证明，只要观察的时间足够长，均方位移就与时间严格成正比——比例系数只取决于扩散系数：

而扩散系数本身由斯托克斯–爱因斯坦公式给出，它把微观的分子热运动与宏观可测的物理量联系了起来：

因此 D ∝ T/(ηa)：温度越高、黏度越低、颗粒越小，扩散越快。试着拉动左侧滑块——右侧的「实测 D」会紧随「理论 D」变化，这就是对上式的实时验证。1908 年佩兰用实验测出阿伏伽德罗常数、证实了这条链条，并因此获得 1926 年诺贝尔物理学奖。

关于本模拟的模型

• 微粒在每个时间步的位移按过阻尼朗之万方程抽取：Δx = √(2DΔt)·ξ，其中 ξ 为标准正态随机数。这正是爱因斯坦扩散方程的解，因此 ⟨r²⟩ = 4Dt 对任意时间步长都精确成立，不受数值离散化影响。
• 之所以可以略去惯性项：水中微米级微粒的速度弛豫时间约为 10⁻⁸ 秒，远小于任何可观测的时间尺度，惯性对布朗运动没有贡献。黏滞阻力对扩散的抑制已经全部包含在 D = k_BT/(6πηa) 之中。
• 画布中的小点是溶剂分子，用于呈现「分子碰撞」这一微观图像。它们被当作理想气体（彼此不碰撞），与微粒做弹性反射。真实的碰撞频率在宏观尺度上极高、单次冲量极小，直接按硬球动力学模拟会退化为偶发的弹道漂移；因此微粒所受的净随机力由上面的爱因斯坦形式承担，这也是分子碰撞在连续极限下的标准描述。
• 图中的蓝线与「实测 D」由 3000 个统计样本平均得到，样本使用与画面微粒完全相同的参数和积分格式，只是数量更多，以把均方位移的统计涨落压到 2% 以内。画面里可见的微粒只有十几个，它们的平均（灰线）会明显抖动——两条线的差距，正是样本量的差距。剩下的约 2% 偏差就是有限样本的统计误差，它会随模拟时间增长而逐渐收敛。

关于边界条件

默认开启周期边界：微粒从一侧移出即从另一侧进入，从而排除器壁的干扰，⟨r²⟩ 可以长期保持严格的线性。关掉它换成反射边界后，微粒被限制在有限的画布内，位移无法继续增大，长时间后 ⟨r²⟩ 会明显低于理论线——这正是「有限容器中的扩散会饱和」。