布朗运动笔记：
从花粉抖动到 ⟨r²⟩ = 4Dt

全篇的一条主线

⟨r²⟩ = 4 D t  ·  D = k_BT / (6 π η a)

单个颗粒的轨迹不可预测，但它位移平方的平均值是确定的。决定这个平均值的，只有温度 T、黏度 η、粒径 a——三个宏观可测的量。把 ⟨r²⟩ 对 t 作图的斜率量出来，就能反推微观常数。

D = k_BT / (6 π η a)   ⟹   D ∝ T / (η a)

温度越高、液体越稀、颗粒越小，扩散越快。这条式子是双向的：测出 ⟨r²⟩–t 的斜率得到 D，再由 D、T、η、a 反解出 k_B，除以气体常数就得到阿伏伽德罗常数。佩兰 1908 年起做成了这件事，1926 年因此获诺贝尔物理学奖。

这就是这条链条最反直觉的地方：微观的随机性一点都没有被消除，它只是被平均成了宏观的确定规律。随机是本体，线性的 ⟨r²⟩–t 是统计的结果。你以为你在看公式，其实你在看大数定律。

上手三步

看：蓝线是 3000 个统计样本的平均，灰线是画面里那十几个微粒的平均。灰线一直在抖，不是模拟错了，是样本少。
拖：把温度从 1.0 拉到 3.0，⟨r²⟩ 的斜率和「实测 D」一起变大；再把黏度、粒径拉大，看它们反向走。
改：关掉「周期边界」，等一会儿，看实测曲线怎样慢慢滑到理论线下方。

一句必须说清楚的话

完整版页面里写着「实测 D 会紧随理论 D」，严格讲，这里的「实测」并不是独立测出了斯托克斯–爱因斯坦公式——微粒每步的位移本身就是用理论 D 生成的（Δx = √(2DΔt)·ξ），两者当然接近。它真正验证的是这三件事：积分格式没错、统计样本已收敛、⟨r²⟩ 确实与 t 成正比。
想让演示变成一次真正的「测量」，得反过来做：让微粒的随机力来自一个独立的微观模型，再把拟合出的 D 拿去和 k_BT/(6πηa) 比。这是个诚实的边界，也是这个演示的边界。

坑 01 · 惯性项可以删，但要先算一遍弛豫时间

严格写法是朗之万方程 m·dv/dt = −γv + ξ(t)，其中 γ = 6πηa。但速度被黏滞"洗掉"的时间尺度 τ = m/γ 在微米级、水介质下只有 10⁻⁸ 秒量级，远小于任何可观测的时间尺度。所以可以直接用过阻尼形式，把惯性整项拿掉：Δx = √(2DΔt)·ξ。这不是顺手偷懒，是算过之后才敢删。而黏滞阻力对扩散的抑制也没有消失——它全部包在 D = k_BT/(6πηa) 里了。

坑 02 · 分子不能真的去"撞"出布朗运动

画面里 1600 个小点在飞、在弹、在撞微粒，看上去布朗运动就是被它们撞出来的。但如果真让微粒的位移只由这些硬球碰撞驱动，曲线会立刻坏掉：真实碰撞频率极高、单次冲量极小，而在离散步长里只放几千个"分子"，微粒会在两次碰撞之间匀速直线飞很远，于是 ⟨r²⟩ 变成 ∝ t²，还强烈依赖你把分子数量设成多少——那已经不是扩散了。
所以正确的分工是：微粒的净随机力由爱因斯坦形式承担，分子只负责把"分子在撞"这个微观图像画出来。把"看得见的机制"和"算得出的机制"分开，是这个页面里最关键的一次取舍。

坑 03 · 步长的系数：漏掉一个 2，结果整体偏一半

一维扩散解给出 ⟨x²⟩ = 2Dt，所以每个时间步的高斯位移必须是 Δx = √(2DΔt)·ξ（ξ 为标准正态随机数）。很容易写成 √(DΔt)·ξ，理由是"反正就是这个量级"——那样每步方差只有一半，⟨r²⟩ 整体差 2 倍，拟合出的 D 恰好是理论值的一半。这个 2 不是可选的常数，它是扩散方程解的一部分。
好消息是：系数写对之后，⟨r²⟩ = 4Dt 对任意步长 Δt 都精确成立，不需要把 Δt 取到无穷小。这正是爱因斯坦形式相对硬球动力学的最大好处——也是坑 02 之所以能成立的前提。

坑 04 · 不能看平均位移，它恒等于 0

各向同性、又无外力，⟨Δr⟩ = 0。想用"平均位移"描述布朗运动，得到的结果永远是零。特征量只能是位移平方的平均 ⟨r²⟩。这一步看着像定义问题，实际上它决定了后面所有事：拟合的是 ⟨r²⟩ 对 t 的斜率，那么噪信比、样本量、拟合区间的取舍，全都围绕这个量展开。

坑 05 · 画面里 10 个微粒 ≠ 统计上的 3000 个样本

最初的版本直接拿画面里十几个微粒算 ⟨r²⟩，曲线抖得像噪声。原因很简单：均方位移是统计量，样本越少，相对涨落越大（大致按 1/√N 收敛）。画 10 个，是为了看清轨迹；要得到能读数的 ⟨r²⟩，得让 3000 个"幕后"样本按同样参数同步积分。
所以页面上有两条线：蓝线是 3000 个样本的平均（贴合理论线），灰线是画面微粒的平均（明显抖动）。两条线的距离就是样本量的差距——这不是画错，是刻意留给你看的。

坑 06 · 拟合 D 要跳过起步段

把 ⟨r²⟩–t 的斜率除以 4 就得到 D。代码用的是过原点最小二乘 k = Σ(tᵢvᵢ) / Σtᵢ²，再取 D = k/4；并且只用后 60% 的数据点参与拟合：起步阶段 ⟨r²⟩ 本身很小，一点统计涨落就构成很大的相对偏差，把这段排除后再拟合，读数明显更稳。这是经验做法，不是推导出来的最优解——但它足够好用。

坑 07 · 周期边界必须把轨迹画断

打开周期边界后，微粒从右边出去会从左边回来。坐标上它只是"跳"了一下；如果照常连线，画面上就会出现一条横贯整个画布的长直线，一串这样的线会把轨迹糊成网格。所以绘制时要做跳变检测：相邻采样点的距离超过画布尺寸的 40%，就抬笔另起一段（moveTo 而非 lineTo）。物理上没错的东西，画出来可能完全不是那个意思。

坑 08 · 反射边界下 ⟨r²⟩ 会饱和，那不是 bug

把周期边界关掉换成器壁反射，过一会儿实测曲线就会明显地滑到理论线下方。这不是数值错误，是物理：容器有限，微粒被限制在里面，位移不可能无限制地长大，⟨r²⟩ 自然要偏离 4Dt。想让 ⟨r²⟩ 长期严格线性，就必须排除器壁的影响——所有扩散实验都得处理同一个问题，只不过它们用的是更大的容器和更短的时间窗。

坑 09 · canvas 第一帧取到的宽度是 0

页面刚加载时，脚本可能跑在布局完成之前，getBoundingClientRect() 拿到的是 0，画布尺寸和坐标缩放全部会算错。稳妥做法是：取不到有效尺寸就用 requestAnimationFrame 再试一轮。同时把 devicePixelRatio 算进去（上限取 2，避免高倍屏上白烧算力），用 ctx.setTransform 一次性缩放——否则整块画布在高分屏上是糊的。

坑 10 · 分子数量不影响曲线——这既是特性，也是提醒

把"分子数量"滑块从 200 拉到 4000，⟨r²⟩ 曲线纹丝不动。因为它只决定画面里有多少个点在飞，真正决定曲线的是 D。这个现象值得记住：它说明在这个模型里，分子只是图像，不是机制（见坑 02）。如果哪天你真想让分子参与计算，第一件要重做的事，就是回头检查 ⟨r²⟩ 与 t 还成不成正比。

这条链路真正漂亮的地方，是它把「不可预测」和「严格确定」放进了同一个式子里。单个颗粒下一步往哪走，谁也说不准；一万个颗粒走同样长的时间，位移平方的平均值是钉死的。随机性没有被消除，它只是被平均成了规律。

而工程上的那一半——哪些项可以删、哪些机制只能当图像、什么时候该抬笔断线——是算过之后才知道的，不是写代码时顺手选的。这大概就是"把公式跑起来"和"把公式看懂"之间的差距。